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Thèse de doctorat

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Titre

Phénomènes ondulatoires dans un modèle discret de faille sismique

Auteur

Lebellego, Marion

Directeur de thèse

Lombardi, Eric

James, Guillaume

Date de soutenance

2011-12-06

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Systèmes non lisses

Inclusions différentielles

Bifurcations

Méthode de Lypounov-Schmidt

Equations d'amplitude

Equation de Ginzburg-Landau

Résumé en français

Dans cette thèse on s'intéresse à des phénomènes ondulatoires dans un modèle discret de faille sismique introduit par Burridge et Knopoff, constitué d'une chaîne de patins-ressorts, et dans lequel des mouvements de type glissement-saccadé (stick-slip), caractéristiques du phénomène de tremblement de terre, sont observés numériquement. Dans la première partie, on considère une version introduite par Carlson et Langer, avec loi de frottement de type velocity-weakening (adoucissement du frottement avec la vitesse de glissement). Cette loi est non lisse et multivaluée en 0. Les équations du mouvement sont alors constituées d'un système infini d'inclusions différentielles couplées. On démontre en se basant sur la méthode de Lyapounov-Schmidt, l'existence d'ondes périodiques progressives dans une limite de faible couplage entre les masses. Dans la deuxième partie, on étudie ce modèle avec une loi de frottement de type rate-and-state qui prend en compte l'état de l'interface entre les deux plaques sismiques. La loi de frottement est lisse, mais dépend d'une variable d'état supplémentaire. On dérive formellement une équation de Ginzburg-Landau comme équation d'amplitude et on montre qu'il existe des petites solutions du système décrites par cette équation d'amplitude, lorsque celui-ci se trouve au seuil de l'instabilité et sur une échelle de temps suffisamment grande.

Résumé en anglais

In this thesis, we consider a simple version of the spring-block model of Burridge-Knopoff for seismic faults, in which stick-slip instabilities have been numerically observed (phenomena corresponding to earthquakes). In the first part, we consider the version of this model introduced by Carlson and Langer, in which the friction law is of type velocity-weakening. This law is nonsmooth and multivalued at zero sliding velocity. As equations of motion, we obtain an infinite system of coupled differential inclusions. We prove, using the Lyapounov-Schmidt reduction, that there exist periodic travelling waves in this system in a limit of weak coupling between the masses. In the second part, we consider the model combined with a rate-and-state friction law, taking into account the ageing of the interface. The friction law is smooth but depends on an additive variable accounting for the state of the surface. In this part, we formally derive a Ginzburg-Landau equation as a modulation equation and prove that there exist small solutions in our system, that can be described by this equation in a sufficiently large time-scale, when the system lies at the threshold of instability.

Date de publication

2012-04-16T08:49:42