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Thèse de doctorat

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Titre

Revêtements finis d'une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles

Auteur

Renard, Claire

Directeur de thèse

Boileau, Michel

Date de soutenance

2011-11-02

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Variétés de dimension trois

Fibrations

Revêtements finis

Géométrie hyperbolique

Corps en anses

Graphes de Cayley

Résumé en français

Dans le cadre des variétés hyperboliques, Thurston a conjecturé que toute variété hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, complète et de volume fini possède un revêtement fini qui est fibré sur le cercle. En lien avec cette conjecture, le résultat principal de cette thèse donne des conditions suffisantes pour qu'un revêtement fini d'une variété hyperbolique M de dimension trois fibre sur le cercle, ou du moins contienne une fibre virtuelle. Soit F une surface close, orientable, plongée et proche d'une surface minimale, dans un revêtement fini M' de M et séparant M' en corps en anses. La condition pour qu'il existe une fibre virtuelle dans le complémentaire de F est donnée par une inégalité faisant intervenir le degré d du revêtement, le genre g de la surface, le nombre q de corps en anses et une constante k ne dépendant que du volume et du rayon d'injectivité de M. En appliquant ce théorème à un scindement de Heegaard de genre minimal du revêtement M', on obtient une version sous-logarithmique des conjectures de Lackenby sur le gradient de Heegaard et le gradient de Heegaard fort. Le théorème principal s'applique également dans le cadre d'une décomposition circulaire associée à une classe d'homologie non triviale. Nous obtenons par exemple des conditions suffisantes pour qu'une classe d'homologie non triviale de M corresponde à une fibration sur le cercle. Des méthodes analogues permettent aussi de donner une condition suffisante pour qu'une surface incompressible plongée dans M soit une fibre virtuelle. Enfin, nous donnons un critère pour que dans une tour de revêtements finis le premier nombre de Betti tende vers l'infini.

Résumé en anglais

In the setting of hyperbolic 3-manifolds, Thurston conjectured that every connected, orientable, complete hyperbolic 3-manifold of finite volume has a finite cover fibered over the circle. Having this conjecture in mind, the main result of this thesis provides sufficient conditions for a finite cover of a hyperbolic 3-manifold M to fiber over the circle, or at least to contain a virtual fiber. Let F be an embedded, closed and orientable surface close to a minimal surface, in a finite cover M' of M, such that M' cut along F is a disjoint union of handlebodies and compression bodies. The condition to show that there exists a virtual fiber in the complement of F is given by an inequality involving the degree d of the cover, the genus g of the surface, the number q of compression bodies and a constant k depending only on the volume and the injectivity radius of M. Applying this theorem to a minimal genus Heegaard splitting of the finite cover M' leads to a sub-logarithmic version of Lackenby's conjectures of the Heegaard gradient and the strong Heegaard gradient. The main theorem also applies to the setting of a circular decomposition associated to a non trivial homology class. For example, we obtain sufficient conditions for a non trivial homology class of M to correspond to a fibration over the circle. Similar methods lead also to a sufficient condition for an incompressible embedded surface in M to be a virtual fiber. Eventually, we give a criterion to show that the first Betti number in a tower of finite covers tends to infinity.

Date de publication

2012-06-04T13:48:32