Type de document

Thèse de doctorat

Diffusion

Accès libre

Titre

Méthodes de reconstruction itératives en tomographie thermoacoustique

Auteur

Marinesque, Sébastien

Directeur de thèse

Auroux, Didier

Amodei, Luca

Date de soutenance

2012-11-23

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques appliquées

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Problème inverse

Renversement temporel

Nudging

Equation des ondes

Stabilisation

Observabilité

Problème mal posé

Tomographie thermoacoustique

Résumé en français

À partir du problème de la tomographie thermoacoustique (TTA), nous avons défini, étudié et mis en œuvre diverses méthodes itératives de reconstruction: le Nudging Direct et Rétrograde (BFN), puis une méthode variationnelle (VT) et le SEEK Direct et Rétrograde (BF-SEEK), plus élaborés, ainsi qu'une méthode couplant filtre de Kalman (KF) et renversement temporel (TR). À l'occasion d'une formulation commune aux méthodes séquentielles précitées, nous avons mis en évidence une nouvelle classe de méthodes de résolution de problèmes inverses: les algorithmes de Filtrage Direct et Rétrograde (BFF). Outre l'existence et l'unicité des solutions, sont étudiés divers cadres caractérisant la convergence théorique des algorithmes. Un cadre théorique général est précisé pour que le BFN soit bien posé. Dans le cadre offert par la TTA, la convergence géométrique de l'algorithme est prouvée, avec taux de convergence explicite. L'étude de généralisations à un cadre plus réaliste est menée: sont considérés différents objets à reconstruire, positionnement et d'éparpillement des capteurs, modèles d'équation d'onde ou des sources extérieures. Des outils de contrôle et d'estimation optimaux permettent de caractériser d'une part la convergence du BFN, et d'autre part les rappels définissant des BFF convergents, et le problème est ramené à un critère d'observabilité. Avec pour points de comparaison les méthodes les plus souples et efficaces du moment (le TR et une variante itérée), de nombreuses expérimentations sont menées afin de tester les BFF et la VT. Robustes, de complexité variée et adaptatives, nos méthodes constituent une excellente alternative aux techniques de reconstruction usuelles.

Résumé en anglais

We define, study and implement various iterative reconstruction methods for Thermoacoustic Tomography (TAT): the Back and Forth Nudging (BFN), easy to implement and to use, a variationnal technique (VT) and the Back and Forth SEEK (BF-SEEK), more sophisticated, and a coupling method between Kalman filter (KF) and Time Reversal (TR). A unified formulation is explained for the sequential techniques aforementioned that defines a new class of inverse problem methods: the Back and Forth Filters (BFF). In addition to existence and uniqueness (particularly for backward solutions), we study many frameworks that ensure and characterize the convergence of the algorithms. We give a general theoretical framework for which the BFN is a well-posed problem. Then, in application to TAT, existence and uniqueness of its solutions and geometrical convergence of the algorithm are proved, and an explicit convergence rate and a description of its numerical behaviour are given. Theoretical and numerical studies of more general and realistic framework are led, namely different objects, speeds (with or without trapping), various sensor configurations and samplings, attenuated equations or external sources. Optimal control and best estimate tools are used to characterize the BFN convergence and converging feedbacks for BFF, under observability assumptions. We compare the most flexible and efficient current techniques (TR and an iterative variant) with our various BFF and the VT in several experiments. Thus, robust, with different possible complexities and flexible, the methods that we propose are very interesting reconstruction techniques, particularly in TAT and when observations are degraded.

Numéro national de thèse

2012TOU30246

Date de publication

2013-06-17T09:14:54