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Thèse de doctorat

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Titre

Métriques prescrites sur le bord du coeur convexe d'une variété anti-de Sitter globalement hyperbolique maximale compacte de dimension trois

Auteur

Diallo, Boubacar

Directeur de thèse

Schlenker, Jean-Marc

Date de soutenance

2014-11-21

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques fondamentales

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Anti-de Sitter

Théorie de Teichmüller

Coeur convexe

Laminations géodésiques mesurées

Surfaces plissées

Tremblements de terre

Surfaces hyperboliques

Variétés globalement hyperboliques

Résumé en français

Le but de cette thèse est d'apporter une réponse partielle positive à l'une des conjectures de Geoffrey Mess, datant des années 90, sur la géométrie du bord du coeur convexe d'une variété anti-de Sitter globalement hyperbolique maximale compacte de dimension trois. Plus précisément, nous montrons que chaque couple de métriques hyperboliques sur une surface fermée S de genre au moins deux s'obtient (d'au moins une façon) comme couple de métriques du bord supérieur (respectivement inférieur) du coeur convexe d'(au moins) une variété anti-de Sitter M globalement hyperbolique maximale compacte admettant une surface de Cauchy homéomorphe à S. Nous relions ce théorème aux divers résultats déjà obtenus dans les contextes hyperbolique et anti-de Sitter, respectivement, en dimension trois concernant les problèmes de prescription de métriques et de laminations de plissage (du bord du coeur convexe). Nous évoquons le problème d'unicité de la prescription, notamment au voisinage du lieu Fuchsien de l'espace des structures hyperbolique et anti-de Sitter, respectivement. Notre travail nous permet d'aborder diverses questions intéressantes en géométrie: problème des immersions isométriques, études des actions de groupes discrets sur des espaces symétriques lorentziens, géométrie lorentzienne globale en dimension 2+1 et ses applications à la physique. Notons que la géométrie anti-de Sitter en dimension trois fournit un cadre idéal à l'étude des tremblements de terre en théorie de Teichmüller hyperbolique, de même que les variétés hyperboliques quasifuchsiennes sont utiles à la compréhension de la version quasiconforme de cette théorie, ainsi qu'à l'étude des structures projectives complexes sur une surface de genre au moins deux. Ainsi notre résultat s'exprime purement en terme de géométrie hyperbolique des surfaces. Par ailleurs la thèse met en lumière les analogies qui existent entre la théorie anti-de Sitter globalement hyperbolique d'une part et la théorie hyperbolique quasifuchsienne d'autre part, tout en développant de nouvelles techniques d'approche de notre question principale, les méthodes connues dans le cadre hyperbolique ne s'appliquant pas du côté lorentzien

Résumé en anglais

The aim of this thesis is to give a partial positive answer to a conjecture of G.Mess, from the '90s, about the geometry of the boundary of the convex core of a globally hyperbolic maximal compact three dimensional anti-de Sitter manifold. More precisely, we prove that each pair of hyperbolic metrics on a closed surface S of genus at least 2 can be obtained as the pair of metrics of the upper (resp. lower) boundary component of the convex core of a (possibly non unique) globally hyperbolic maximal compact anti-de Sitter manifold whose Cauchy surfaces are homeomorphic to S. We relate our theorem to various results readily achieved in the hyperbolic and the anti-de Sitter settings, respectively, in dimension 3, regarding the issues of prescribing the metrics and the pleating laminations (of the boundary of the convex core). We tackle the uniqueness issue, mainly near the Fuchsian locus of the space of hyperbolic (resp. anti-de Sitter) structures. Our work allows us to approach different interesting topics in geometry: isometric immersions, discrete group actions on lorentzian symmetric spaces, global lorentzian geometry in dimension 2+1 with applications to physics. Note that anti-de Sitter geometry in dimension 3 is a natural framework to study earthquakes in hyperbolic Teichmuller theory, the same way quasifuchsian hyperbolic manifolds help us understand the conformal aspect of the theory as well as complex projective structures on surfaces of genus at least 2. Thus we can formulate our result purely in terms of hyperbolic geometry on surfaces. Moreover our thesis highlights existing analogies between the theory of anti-de Sitter globally hyperbolic manifolds on the one hand, and on the theory of quasifuchsian hyperbolic manifolds on the other hand, involving new methods for our main achievement, since those already known in the hyperbolic case do not apply to the lorentzian one

Numéro national de thèse

2014TOU30131

Date de publication

2014-12-15T14:45:43