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Thèse de doctorat

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Titre

Polynômes orthogonaux associés à la courbe deltoïde

Auteur

Zribi, Olfa

Directeur de thèse

Bakry, Dominique

Ouerdiane, Habib

Date de soutenance

2014-12-18

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques appliquées

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Polynômes orthogonaux

Diffusions

Deltoïde

Inégalité courbure-dimension

H-transformations

Propriétés d'hypergroupe

Résumé en français

L'objet central de la thèse est l'étude des familles de polynômes orthogonaux associés à la courbe deltoïde (ou hypocycloïde de Steiner) dans le plan, et qui sont aussi vecteurs propres d'un opérateur différentiel de diffusion dans le plan. Ces polynômes orthogonaux sont liés au système de racines A2, aux groupes de symétries d'un réseau triangulaire plan, ainsi qu'aux spectres des matrices de SU(3). Nous donnons tout d'abord des formules de récurrence, des fonctions génératrices, ainsi que des représentations des polynômes dans quelques cas spéciaux. Nous nous intéressons ensuite aux inégalités de courbure-dimension satisfaites par l'opérateur associé, ce qui nous permet d'obtenir des bornes uniformes sur ces polynômes, ainsi que diverses caractérisations d'inégalités de Sobolev associées. Puis nous étudions les h-transformations, qui sont liées aux conditionnements des processus associés à rester dans un domaine donné. Nous montrons que de façon générale, lorsqu'un opérateur de diffusion a comme vecteurs propres des polynômes orthogonaux, il y a toujours des h-transformations explicites associées. Nous donnons bien sûr l'exemple de la deltoïde, mais aussi de nombreux autres exemples qui entrent dans ce cadre, certains classiques et d'autres moins. Enfin, nous nous intéressons aux propriétés d'hypergroupe associées à ces opérateurs. Ces propriétés d'hypergroupe permettent de décrire tous les noyaux markoviens associés aux polynômes. Nous montrons que cette propriété est satisfaite, sous une forme particulière, pour les polynômes associés au deltoïde, ce qui nous donne le premier exemple d'hypergroupe associé à un système de racines An.

Résumé en anglais

The purpose of this thesis is to study the families of orthogonal polynomials associated with the deltoid curve (or Steiner' hypocycloid) in the plane, which are eigenvectors of a differential diffusion operator. These orthogonal polynomials are related to root system A2, to the symmetries of a planar triangular lattice, as well as the spectra of SU(3) matrices. We give first recurrence formulas, generating functions, as well as representations of polynomials in special cases. We then turn to the curvaturedimension inequality satisfied by the associated operator, which allows us to obtain uniform bounds on these polynomials and various characterizations of associated Sobolev inequalities. We then study the h-transformations, which are related to the processes conditioned to stay in a given domain. We show that in general, when a diffusion operator has polynomials eigenvectors, he always have explicit h- transformations. We give of course the example of the deltoid, but also many other examples that fall within this framework, some are classical and other less. Finally, we study the hypergroup properties associated with these operators. These properties leads to the description of all Markov kernels associated with the polynomials. We show that this property is satisfied in a particular form, for polynomials associated with the deltoid, which gives us the first example of hypergroup associated with a root system An.

Numéro national de thèse

2014TOU30244

Date de publication

2015-04-20T14:08:40