Type de document

Thèse de doctorat

Diffusion

Accès libre

Titre

On the Arnol'd tongues for circle homeomorphisms

Auteur

Banerjee, Kuntal

Directeur de thèse

Buff, Xavier

Date de soutenance

2010-02-05

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques fondamentales

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Applications du cercle

Langues d'Arnol'd

Largeur des langues

Ordre de contact des bords des langues rationnelles

Famille standard

Résumé en français

Pour une famille ( F_{t,a}:x->x+t+a phi(x) ) d'homéomorphismes croissants de R avec phi Lipschitz et continue de période 1, il y a un espace de paramètres de valeurs (t,a) pour lesquelles F_{t,a} est strictement croissant et induit un homeomorphisme du cercle préservant l'orientation. Pour theta dans R, il y a dans cet espace de paramètre une langue d'Arnol'd T_theta de nombre de translation theta. Dans cette thèse, on étudie l'allure des langues rationnelles. Etant donné un rationnel p/q, le bord de T_{p/q} est l'union de deux courbes Lipschitz qui s'intersectent en a=0 et il peut y avoir un angle non nul entre ces deux courbes. Quand phi est analytique, on étudie la largueur de ces langues rationnelles dans la tranche a=a_0 lorsque l'on se rapproche de (t_0,a_0) pour lequel F_{t_0,a_0} a une bande de Herman de nombre de translation alpha irrationnel. Dans ce cas, on montre que la largeur de T_{p_N/q_N} décroît exponentiellement par rapport à q_n, où (p_n/q_n) sont les réduites de alpha. Pour la famille standard ( S_{t,a} : x->x+t+asin(2 pi x) ), le courbes bordant T_{p/q} se touchent et q est leur ordre de contact. En utilisant la notion de famille admissible guidée, on en donne une nouvelle preuve. En particulier, on relie ceci à la multiplicité parabolique de l'application s_{p/q} : z-> exp(i2 pi p/q) z exp(pi z) en 0 et on généralise ce résultat pour les familles admissibles guidées.

Résumé en anglais

For a family ( F_{t,a}:x->x+t+a phi(x) ) of increasing homeomorphisms of R with phi being Lipschitz continuous of period 1, there is a parameter space consisting of the values (t,a) such that the map F_{t,a} is strictly increasing and it induces an orientation preserving circle homeomorphism. For each theta in R, there is an Arnol'd tongue T_theta of translation number theta in the parameter space. We study the shape of the rational tongues in this thesis. Given a rational p/q, the boundary of T_{p/q} is a union of two Lipschitz curves which intersect at a=0 and there can be a non zero angle between them. When phi is analytic, we study the widths of these rational tongues on the slice a=a_0 as we approach a parameter (t_0,a_0) such that F_{t_0,a_0} has a Herman strip of translation number alpha in R-Q. In this case we prove that the width of T_{p_n/q_n} at height a_0 decreases exponentially fast with respect to q_n, where (p_n/q_n) are the convergents of alpha. For the standard family ( S_{t,a} : x->x+t+asin(2 pi x) ), the boundary curves of T_{p/q} touch each other and q is their order of contact. Using the techniques of guided admissible family, we give a new proof of this. In particular we relate this to parabolic multiplicity of the map s_{p/q} : z-> exp(i2 pi p/q) z exp(pi z) at 0 and generalize this result for guided admissible families.

Numéro national de thèse

2010TOU30346

Date de publication

2015-03-25T11:37:36