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Thèse de doctorat

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Titre

Surfaces quantile : propriétés, convergences et applications

Auteur

Ahidar-Coutrix, Adil

Directeur de thèse

Berthet, Philippe

Klein, Thierry

Date de soutenance

2015-07-03

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques appliquées

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Quantile

Surfaces

Weak convergence

Strong approximation

Bahadur-Kiefer approximation

Altitudes/depth fields

Empirical process

Résumé en français

Dans la thèse on introduit et on étudie une généralisation spatiale sur $\R^d$ du quantile réel usuel sous la forme d'une surface quantile via des formes $\phi$ et d'un point d'observation $O$. Notre point de départ est de simplement admettre la subjectivité due à l'absence de relation d'ordre totale dans $\R^d$ et donc de développer une vision locale et directionnelle des données. Ainsi, les observations seront ordonnées du point de vue d'un observateur se trouvant à un point $O \in \R^d$. Dans le chapitre 2, on introduit la notion du quantile vue d'un observateur $O$ dans la direction $u \in \Sd$ et de niveau $\alpha$ via des des demi-espaces orthogonaux à chaque direction d'observation. Ce choix de classe implique que les résultats de convergence ne dépendent pas du choix de $O$. Sous des hypothèses minimales de régularité, l'ensemble des points quantile vue de $O$ définit une surface fermée. Sous hypothèses minimales, on établit pour les surfaces quantile empiriques associées les théorèmes limites uniformément en le niveau de quantile et la direction d'observation, avec vitesses asymptotiques et bornes d'approximation non-asymptotiques. Principalement la LGNU, la LLI, le TCLU, le principe d'invariance fort uniforme puis enfin l'approximation du type Bahadur-Kiefer uniforme, et avec vitesse d'approximation. Dans le chapitre 3, on étend les résultats du chapitre précédent au cas où les formes $\phi$ sont prises dans une classe plus générale (fonctions, surfaces, projections géodésiques, etc) que des demi-espaces qui correspondent à des projections orthogonales par direction. Dans ce cadre plus général, les résultats dépendent fortement du choix de $O$, et c'est ce qui permet de tirer des interprétations statistiques. Dans le chapitre 4, des conséquences méthodologiques en statistique inférentielle sont tirées. Tout d'abord on introduit une nouvelle notion de champ de profondeurs directionnelles baptisée champ d'altitude. Ensuite, on définit une notion de distance entre lois de probabilité, basée sur la comparaison des deux collections de surfaces quantile du type Gini-Lorrentz. La convergence avec vitesse des mesures empiriques pour cette distance quantile, permet de construire différents tests en contrôlant leurs niveaux et leurs puissances. Enfin, on donne une version des résultats dans le cas où une information auxiliaire est disponible sur une ou plusieurs coordonnées sous la forme de la connaissance exacte de la loi sur une partition finie.

Résumé en anglais

The main issue of the thesis is the development of spatial generalizations on $\R^d$ of the usual real quantile. Facing the usual fact that $\R^d$ is not naturally ordered, our idea is to simply admit subjectivity and thus to define a local viewpoint rather than a global one, anchored at some point of reference $O$ and arbitrary shape $\phi$ with the motivation of crossing information gathered by changing viewpoint $O$, shape $\phi$ and $\alpha$-th order of quantile. In Chapter 2, we study the spatial quantile points seen from an observer $O$ in a direction $u \in \Sd$ of level $\alpha$ through the class of the half-spaces orthogonal to the direction $u$. This choice implies that the convergence theorems do not depend on the choice of $O$. Under minimal regularity assumptions, the set of all quantile points seen from $O$ is a closed surface. Under minimal assumptions, we establish for the associated empirical quantile surfaces the convergence theorems uniformly on the quantile level and the observation direction with the asymptotic speed and non-asymptotic bounds of approximation. Mainly, we establish the ULLN, the ULIL, the UCLT, the uniform strong invariance principle and finally the Bahadur-Kiefer type embedding, with the approximation speed rate. In Chapter 3, all the results of the previous chapter are extended to the case where the shapes $ \phi $ are taken in a class more general (functions, surfaces, geodesic projections, etc) than orthogonal projections (half-spaces). In this general setting, the results depend strongly on the choice of $ O $. It is this dependence which permit to draw statistical interpretations: modes detection, mass localization, etc. In Chapter 4, some methodological consequences in inferential statistics are drawn. First we introduce a new concept of directional depth fields called altitude fields. In a second application is defined a new distances between probability distributions, based on the comparison of two collections of quantile surfaces, which are indexes of the type Gini-Lorrentz. The convergence with speed of the empirical quantile measures for these distances, can build different tests with control of their level and their power. A third use of the quantile surfaces is for the case where $ \alpha = 1/2$. Finally, we give a version of our theorems in the case where auxiliary information is available on one or more coordinates of the random variable. By assuming known the probability of the elements of a finite partition, the asymptotic variance of the limiting process decreases and the simulations with few points clearly shows the reframe of the estimated surfaces to the real ones.

Numéro national de thèse

2015TOU30047

Date de publication

2015-12-11T15:33:01