Motions of Julia sets and dynamical stability in several complex variables
- Bianchi, Fabrizio (2016)
Thèse de doctorat
- Type de document
- Thèse de doctorat
- Diffusion
- Accès libre
- Titre
- Motions of Julia sets and dynamical stability in several complex variables
- Auteur
- Bianchi, Fabrizio
- Date de soutenance
- 2016-09-09
- Structure de recherche
- Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219
- Discipline
- Mathématiques fondamentales
- Sujet
- Mathématiques
- Mots-clés en français
- Dynamique holomorphe
- Ensemble de Julia
- Applications d'allure polynomiale
- Implosion parabolique
- Résumé en français
- Dans cette thèse, on s'intéresse aux systèmes dynamiques holomorphes dépendants de paramètres. Notre objectif est de contribuer à une théorie de la stabilité et des bifurcations en plusieurs variables complexes, généralisant celle des applications rationnelles fondées sur les travaux de Mané, Sad, Sullivan et Lyubich. Pour une famille d'applications d'allure polynomiale, on prouve l'équivalence de plusieurs notions de stabilité, entre autres une version asymptotique du mouvement holomorphe des cycles répulsifs et d'un sous-ensemble de l'ensemble de Julia de mesure pleine. Cela peut etre considéré comme une généralisation mesurable à plusieurs variables du célèbre lambda-lemme et nous permet de dégager un concept cohérent de stabilité dans ce cadre. Après avoir compris les bifurcations holomorphes, on s'intéresse à la continuité Hausdorff des ensembles de Julia. Nous relions cette propriété à l'existence de disques de Siegel dans l'ensemble de Julia, et donnons un exemple de ce phénomène. Finalement, on étudie la continuité du point de vue de l'implosion parabolique. Nous établissons un théorème de Lavaurs deux-dimensionel, ce qui nous permet d'étudier des phénomènes de discontinuité pour des perturbations d'applications tangentes à l'identité.
- Résumé en anglais
- In this thesis we study holomorphic dynamical systems depending on parameters. Our main goal is to contribute to the establishment of a theory of stability and bifurcation in several complex variables, generalizing the one for rational maps based on the seminal works of Mané, Sad, Sullivan and Lyubich. For a family of polynomial like maps, we prove the equivalence of several notions of stability, among the others an asymptotic version of the holomorphic motion of the repelling cycles and of a full-measure subset of the Julia set. This can be seen as a measurable several variables generalization of the celebrated lambda-lemma and allows us to give a coherent definition of stability in this setting. Once holomorphic bifurcations are understood, we turn our attention to the Hausdorff continuity of Julia sets. We relate this property to the existence of Siegel discs in the Julia set, and give an example of such phenomenon. Finally, we approach the continuity from the point of view of parabolic implosion and we prove a two-dimensional Lavaurs Theorem, which allows us to study discontinuities for perturbations of maps tangent to the identity.
- Numéro national de thèse
- 2016TOU30099
- Date de publication
- 2017-01-20T08:08:32
Citation bibliographique
Bianchi, Fabrizio (2016), Motions of Julia sets and dynamical stability in several complex variables [Thèse de doctorat]