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Thèse de doctorat

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Titre

Gaussian geometry and tools for compressed sensing

Auteur

Mourareau, Stéphane

Directeur de thèse

Azaïs, Jean-Marc

Date de soutenance

2016-06-24

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques appliquées

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Acquisition comprimée

Méthode de Rice

Grande dimension

Procédure de test

Résumé en français

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'analyse statistique en grande dimension. Plus précisé- ment, l'objet de cette thèse est d'étudier la possible application d'outils issus de la théorie des processus Gaussiens afin de redémontrer certaines propriétés des matrices à entrées Gaussiennes et d'étendre certaines procédures de test du modèle linéaire Gaussien standard. Dans la première partie, nous nous concentrons sur les matrices Gaussiennes. Notre objectif est de démontrer, via des formules du type Kac-Rice, qu'une telle matrice satisfait, avec très grande probabilité, la Null Space Property (NSP) et la Propriété d'Isométrie Restreinte (RIP). De plus, nous déduisons des transitions de phases dépendant des paramètres classiques de la régression parcimonieuse, à savoir le nombre d'observations, le nombre de prédicteurs et le degré de sparsité. Dans la seconde partie, nous traitons le cas du test de nullité globale des paramètres pour le modèle linéaire Gaussien, afin de l'appliquer au cas de la sélection de modèle. Dans ces travaux, qui s'inscrivent dans la continuité de Taylor, Loftus et Tibshirani, nous proposons un test non conditionnel pour l'hypothèse de nullité globale dans le cadre du lasso et discutons autour de sa puissance. De plus, nous généralisons ces résultats aux processus Gaussiens, pour inclure, par exemple, la cas de la super-résolution. Dans une troisième partie, nous présentons quelques applications de la formule de Rice visantà calculer la fonction de répartition du maximum d'un processus Gaussien afin d'en déduire une version numériquement implémentable. Dans un deuxième temps, nous discutons de l'efficacité ou non de certaines approximations classiques pour la fonction de répartition du maximum. Enfin, nous étudions le comportement asymptotique du nombre de franchissements d'un niveau donné u sur un intervalle de temps [0,T] pour un processus Gaussien dérivable.

Résumé en anglais

This thesis fallin within the context of high-dimensional data analysis. More specificaly, the purpose is to study the possible application of some Gaussian tools to prove classical results on matrices with Gaussian entries and to extend existing test procedures for Gaussian linear models. In a first part, we focus on Gaussian matrices. Our aim is to prove, using a Kac-Rice formula on Gaussian processes, that such a matrice satisfies, with overwhelming probability, the Null Space Property (NSP) and the Restricted Isometry Property (RIP). Moreover, we derive phase transition graphs depending on the classical parameters of sparse regression, namely the number of observations, the number of predictors and the level of sparsity. In a second part, we deal with global null testing for Gaussian linear models, with application to Compressed Sensing. Following recent works of Taylor, Loftus and Tibshirani, we purpose a test for global null hypothesis in the lasso case and discuss about its power. Furthermore, we generalize these method to Gaussian processes, to include, for instance, the super-resolution case. In a third part, we present some applications of Rice formula to compute the cumulative distribution function of the maximum of a Gaussian process and derive corresponding numerical routines to investigate the efficiency of classical approximations. Finaly, we consider the asymp- totical comportement of the number of crossings of a differentiable Gaussian process for a given level u and time interval [0,T].

Numéro national de thèse

2016TOU30074

Date de publication

2017-01-16T13:25:54