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Thèse de doctorat

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Titre

Théorie de la mesure dans la dynamique des sous-groupes de Diff^w(S1)

Auteur

Eskif, Anas

Directeur de thèse

Rebelo, Julio

Date de soutenance

2016-11-23

Établissement de soutenance

Université de Toulouse

Université Toulouse III - Paul Sabatier

École doctorale

Mathématiques, informatique, télécommunications de Toulouse (MITT)

Structure de recherche

Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), UMR 5219

Discipline

Mathématiques fondamentales

Sujet

Mathématiques

Mots-clés en français

Théorie de la mesure

Mesures stationnaires

Sous-groupes de Diff (S1)

Groupe localement non-discret

Rigidité topologique

Théorie ergodique

Résumé en français

Dans cette thèse, nous établissons un théorème de rigidité topologique pour une large classe de sous-groupes du groupe de difféomorphismes analytiques réels préservant l'orien- tation du cercle Diff (S1). En effet, les objets principaux étudiés dans cette thèse sont les sous-groupes localement C 2-non-discrets de type fini de Diff (S1). Dans le premier Chapitre, on donne des rappels sur la relation entre la théorie de la mesure et les systèmes dynamiques et on donne aussi des rappels sur les définitions et les propriétés des espaces hyperboliques, des groupes hyperboliques et des leurs bords. Le deuxième Chapitre contient des définitions précises pour la plupart des notions pertinentes pour cette thèse, revisite les résultats concernant la théorie de Shcherbakov- Nakai sous une forme adaptée à nos besoins et fournit une description des dynamiques topologiques associées au sous-groupe localement C 2-non-discret de Diff (S1). Le troisième Chapitre est consacré à la preuve du Théorème A "le théorème de rigidité topologique". Dans la première section de ce chapitre, on démontre le Théorème A dans divers cas particuliers, dont le cas où le groupe a une orbite finie et le cas où le groupe est résoluble mais non-abélien. Il restera alors démontrer le Théorème A dans le cas dit "générique" et cela sera l'objet du restant de ce chapitre. Dans la deuxième section de ce chapitre, nous construisons une suite de difféomorphismes de G1 convergeant vers l'identité dans C 2-topologie sur l'intervalle I C S1. Dans la dernière section de ce chapitre, nous allons démontrer le Théorème A modulo la Proposition 3.3.3. En effet, le Théorème 3.3.1 sera prouvé et ce théorème constitue un énoncé plus forte que celui du Théorème A. L'énoncé principal du quatrième Chapitre est le Théorème 4.2.1. La démonstration du Théorème 4.2.1 est une combinaison des faits standards sur les groupes hyperboliques avec l'éxistence d'une mesure µ sur G1 donnant lieu à une mesure stationnaire absolu- ment continue. Ce théorème entraînera la démonstration du Théorème B. Finalement, l'Annexe contient une réponse partielle dans la catégorie analytique à une question posée dans [De]. L'annexe se termine ensuite par un résumé du rôle joué par l'hypothèse de régularité (C) dans cette thèse.

Résumé en anglais

In this thesis we establish a topological rigidity theorem for a large class of subgroups of the group Diff (S1) consisting of (orientation-preserving) real analytic diffeomorphisms of the circle S1. Indeed, the primary object studied in this thesis are finitely generated, locally C 2-non-discrete subgroups of Diff (S1). In the first Chapter, we briefly recall several basic facts in the relation between measure theory and dynamical systems and recall the definitions and basic properties of hyperbolic spaces, hyperbolic groups and their boundaries. The second Chapter contains accurate definitions for most of the notions relevant for this thesis, revisits results related to Shcherbakov-Nakai theory in a form adapted to our needs and provides a description of the topological dynamics associated with a locally C 2-non-discrete subgroup of Diff (S1). The third Chapter is devoted to proving Theorem A "topological rigidity theorem". In the first section of this chapter, we prove Theorem A in various special cases, including the case where the group has a finite orbit as well as the case in which the group is solvable but non-abelian. It will then prove Theorem A in the case called "generic" and this will be the subject of the remainder of this chapter. In the second section of this chapter, we construct an explicit sequence of diffeomorphisms in G1 converging to the identity in the C 2-topology on the interval I C S1. In the last section of this chapter, we shall prove Theorem A modulo Proposition 3.3.3. In fact, Theorem 3.3.1 will be proved and this theorem provides a statement fairly stronger than what is strictly needed to derive Theorem A. The main statement in the fourth Chapter is Theorem 4.2.1. The proof of The- orem 4.2.1 is combined standard facts about hyperbolic groups with the existence of a measure µ on G1 giving rise to an absolutely continuous stationary measure. This theorem will lead to the proof of Theorem B. In the end, the Appendix contains a partial answer in the analytic category to a question raised in [De]. The appendix then ends with a summary of the role played by the regularity assumption (C) in this thesis.

Numéro national de thèse

2016TOU30151

Date de publication

2017-02-10T15:24:57